在全市中学运动会800m比赛中，甲乙两名运动员同时起跑，刚跑

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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在全市中学运动会800m比赛中，甲乙两名运动员同时起跑，刚跑出200m后，甲不慎摔倒，他又迅速地爬起来继续投入比赛，并取得了优异的成绩. 图中分别表示甲、乙两名运动员所跑的路程y（m）与比赛时间x（s）之间的关系，根据图象解答下列问题：

甲摔倒前，的速度快（填甲或乙）；
甲再次投入比赛后，在距离终点多远处追上乙？

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2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位： $m)$ 绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．

学生立定跳远测试成绩的频数分布表

分组	频数
$1.2 ⩽ x < 1.6$	$a$
$1.6 ⩽ x < 2.0$	12
$2.0 ⩽ x < 2.4$	$b$
$2.4 ⩽ x < 2.8$	10

请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：

（1）表中 $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）样本成绩的中位数落在　　范围内；

（3）请把频数分布直方图补充完整；

（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在 $2.4 ⩽ x < 2.8$ 范围内的有多少人？

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难度：未知

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欧拉 $(Euler$ ，1707年 $~ 1783$ 年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数 $V (Vertex)$ 、棱数 $E (Edge)$ 、面数 $F (Flatsurface)$ 之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．

（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：

名称	三棱锥	三棱柱	正方体	正八面体
图形
顶点数 $V$	4	6	8	6
棱数 $E$	6		12
面数 $F$	4	5		8

（2）分析表中的数据，你能发现 $V$ 、 $E$ 、 $F$ 之间有什么关系吗？请写出关系式：　　．

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解不等式组 $\{\begin{matrix} 4 (x + 1) ⩽ 7 x + 13, \\ x - 4 < \frac{x - 8}{3}, \end{matrix}$ 并求它的所有整数解的和．

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如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 2$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $OA = 2 OB$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $BC$ ，抛物线对称轴为直线 $x = \frac{1}{2}$ ， $D$ 为第一象限内抛物线上一动点，过点 $D$ 作 $DE ⊥ OA$ 于点 $E$ ，与 $AC$ 交于点 $F$ ，设点 $D$ 的横坐标为 $m$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）当线段 $DF$ 的长度最大时，求 $D$ 点的坐标；

（3）抛物线上是否存在点 $D$ ，使得以点 $O$ ， $D$ ， $E$ 为顶点的三角形与 $ΔBOC$ 相似？若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

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如图，在等边三角形 $ABC$ 中，点 $E$ 是边 $AC$ 上一定点，点 $D$ 是直线 $BC$ 上一动点，以 $DE$ 为一边作等边三角形 $DEF$ ，连接 $CF$ ．

【问题解决】

如图1，若点 $D$ 在边 $BC$ 上，求证： $CE + CF = CD$ ；

【类比探究】

如图2，若点 $D$ 在边 $BC$ 的延长线上，请探究线段 $CE$ ， $CF$ 与 $CD$ 之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

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