已知数列的前项和为，，且（为正整数）（Ⅰ）求出数列的通项公式

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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已知数列的前项和为，，且（为正整数）
（Ⅰ）求出数列的通项公式；
（Ⅱ）若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值

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如图，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，其左焦点到点 $P (2, 1)$ 的距离为 $\sqrt{10}$ ．不过原点 $O$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，且线段 $A B$ 被直线 $O P$ 平分．

(Ⅰ)求椭圆 $C$ 的方程；
(Ⅱ) 求 $∆ A B P$ 的面积取最大时直线 $l$ 的方程．

题型：未知
难度：未知

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如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的菱形，且 $∠ B A D ＝ 120 °$ ，且 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ＝ 2 \sqrt{6}$ ， $M, N$ 分别为 $P B, P D$ 的中点．

(1)证明： $M N ∥$ 平面 $A B C D$ ；
(2) 过点 $A$ 作 $A Q ⊥ P C$ ，垂足为点 $Q$ ，求二面角 $A - M N - Q$ 的平面角的余弦值．

题型：未知
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已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量 $X$ 为取出3球所得分数之和．
(Ⅰ)求 $X$ 的分布列；
(Ⅱ)求 $X$ 的数学期望 $E (X)$ ．

题型：未知
难度：未知

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已知函数 $f (x) = |x + a| + |x - 2|$

（1）当 $a = - 3$ 时，求不等式 $f (x) \geq 3$ 的解集；
（2）若 $f (x) \leq |x - 4|$ 的解集包含 $[1, 2]$ ，求 $a$ 的取值范围.

题型：未知
难度：未知

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已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程是 $\{\begin{cases} x = 2 \cos φ \\ y = 3 \sin φ \end{cases} (φ 为参数)$ ，以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 $C_{2}$ 的坐标系方程是 $ρ = 2$ ，正方形 $A B C D$ 的顶点都在 $C_{2}$ 上，且 $A, B, C, D$ 依逆时针次序排列，点 $A$ 的极坐标为 $(2, \frac{π}{3})$

（1）求点 $A, B, C, D$ 的直角坐标；
（2）设 $P$ 为 $C_{1}$ 上任意一点，求 ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2} + {|P C|}^{2} + {|P D|}^{2}$ 的取值范围.

题型：未知
难度：未知

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