三棱柱ABC—A1B1C1中,侧棱与底面垂直,, ,分别是,的中点. (1)求直线MN与平面A1B1C所成的角; (2)在线段AC上是否存在一点E,使得二面角E-B1A1-C的余弦值 为?若存在,求出AE的长,若不存在,请说明理由.
已知,求证:关于的三个方程,,中至少有一个方程有实数根.
某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:mm)的值落在(29.94,30.06)的零件为优质品。从两个分厂生产的零件中各抽出500件,量其内径尺寸,的结果如下表:甲厂:(1) 试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率;(2) 由于以上统计数据填下面列联表,并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”。
附:, .
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)的几组对照数据:
(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据,求出关于的线性回归方程;(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤? (参考公式见卷首,参考数值:).
已知函数(1)求函数的单调区间;(2)若恒成立,试确定实数k的取值范围;(3)证明:①上恒成立②
已知数列的通项公式为,其前项和为,(1)求并猜想的值;(2)用数学归纳法证明(1)中所猜想的结论.