如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5cm，AB=12cm，CD=6cm，点Q从C开始沿CD边向D移动，速度是每秒1厘米，点P从A开始沿AB向B移动，速度是点Q速度的a倍，如果点P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达终点时运动停止．设运动时间为t秒．已知当t=时，四边形APQD是平行四边形．
求a的值；
线段PQ是否可能平分对角线BD？若能，求t的值，若不能，请说明理由；
若在某一时刻点P恰好在DQ的垂直平分线上，求此时t的值。