某班同学利用国庆节进行社会实践,对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:(Ⅰ)补全频率分布直方图并求、、的值;(Ⅱ)从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动,其中选取人作为领队,记选取的名领队中年龄在岁的人数为,求的分布列和期望。
(本小题满分12分) 已知矩形与正三角形所在的平面互相垂直, 、分别为棱、的中点,,, (1)证明:直线平面; (2)求二面角的大小.
(本小题共12分) 甲,乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得分,负者得分,比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)设表示比赛停止时比赛的局数,求随机变量的分布列和数学期望.
(文)(本小题14分)已知函数(为实数). (1)当时, 求的最小值; (2)若在上是单调函数,求的取值范围.
(理) 已知,其中是自然常数,[ (1)讨论时, 的单调性、极值; (2)求证:在(Ⅰ)的条件下,; (3)是否存在实数,使的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
已知椭圆的离心率,点F为椭圆的右焦点,点A、B分别为椭圆的左、右顶点,点M为椭圆的上顶点,且满足(1)求椭圆C的方程; (2)是否存在直线,当直线交椭圆于P、Q两点时,使点F恰为的垂心(三角形三条高的交点)?若存在,求出直线方程;若不存在,请说明理由。