如图,平移三角形ABC,使点A移动到A′,画出平移后的三角形A′B′C′
如图,抛物线 y = a x 2 + bx + c 经过点 A ( − 2 , 0 ) , B ( 4 , 0 ) ,与 y 轴正半轴交于点 C ,且 OC = 2 OA ,抛物线的顶点为 D ,对称轴交 x 轴于点 E .直线 y = mx + n 经过 B , C 两点.
(1)求抛物线及直线 BC 的函数表达式;
(2)点 F 是抛物线对称轴上一点,当 FA + FC 的值最小时,求出点 F 的坐标及 FA + FC 的最小值;
(3)连接 AC ,若点 P 是抛物线上对称轴右侧一点,点 Q 是直线 BC 上一点,试探究是否存在以点 E 为直角顶点的 Rt Δ PEQ ,且满足 tan ∠ EQP = tan ∠ OCA .若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
有公共顶点 A 的正方形 ABCD 与正方形 AEGF 按如图1所示放置,点 E , F 分别在边 AB 和 AD 上,连接 BF , DE , M 是 BF 的中点,连接 AM 交 DE 于点 N .
【观察猜想】
(1)线段 DE 与 AM 之间的数量关系是 ,位置关系是 ;
【探究证明】
(2)将图1中的正方形 AEGF 绕点 A 顺时针旋转 45 ° ,点 G 恰好落在边 AB 上,如图2,其他条件不变,线段 DE 与 AM 之间的关系是否仍然成立?并说明理由.
如图,已知 Rt Δ ABC 中, ∠ C = 90 ° .
(1)请按如下要求完成尺规作图(不写作法,保留作图痕迹).
①作 ∠ BAC 的角平分线 AD ,交 BC 于点 D ;
②作线段 AD 的垂直平分线 EF 与 AB 相交于点 O ;
③以点 O 为圆心,以 OD 长为半径画圆,交边 AB 于点 M .
(2)在(1)的条件下,求证: BC 是 ⊙ O 的切线;
(3)若 AM = 4 BM , AC = 10 ,求 ⊙ O 的半径.
直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售,如果按每件60元销售,每天可卖出20件.通过市场调查发现,每件小商品售价每降低5元,日销售量增加10件.
(1)若日利润保持不变,商家想尽快销售完该款商品,每件售价应定为多少元?
(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品,标价为每件62.5元.为提高市场竞争力,促进线下销售,小明决定对该商品实行打折销售,使其销售价格不超过(1)中的售价,则该商品至少需打几折销售?
如图,正比例函数 y = 1 2 x 与反比例函数 y = k x ( x > 0 ) 的图象交于点 A ,过点 A 作 AB ⊥ y 轴于点 B , OB = 4 ,点 C 在线段 AB 上,且 AC = OC .
(1)求 k 的值及线段 BC 的长;
(2)点 P 为 B 点上方 y 轴上一点,当 ΔPOC 与 ΔPAC 的面积相等时,请求出点 P 的坐标.