(本题14分)阅读：在用尺规作线段等于线段时，小明的具体做法

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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(本题14分)阅读：在用尺规作线段等于线段时，小明的具体做法如下：

已知：如图，线段.
求作：线段,使得线段.
作法: ① 作射线；
② 在射线上截取.
∴线段为所求.
解决下列问题：已知：如图，线段.
（1）请你仿照小明的作法，在上图中的射线上作线段，使得；（不要求写作法和结论，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，取的中点.若.
①当点在线段上时（画出图形）。段的长.
②当点在线段的延长线上时（画出图形）. 求线段的长.

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（1）计算： $2 \cos 30 ° - 2^{- 1} - \sqrt{12} - | \sqrt{3} - 2 | + {(3.14 - π)}^{0}$ ；

（2）先化简： $\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} - 4 x + 4} \div \frac{x + 3}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x}$ ，然后 $x$ 从0、1、2三个数中选一个你认为合适的数代入求值．

题型：未知
难度：未知

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（1）阅读理解

我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．

根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；

（2）问题解决

勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形 $ACDE$ 的中心 $O$ ，作 $FG ⊥ HP$ ，将它分成4份，所分成的四部分和以 $BC$ 为边的正方形恰好能拼成以 $AB$ 为边的正方形．若 $AC = 12$ ， $BC = 5$ ，求 $EF$ 的值；

（3）拓展探究

如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形 $N$ 的边长为定值 $n$ ，小正方形 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ．

已知 $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3 = α$ ，当角 $α (0 ° < α < 90 °)$ 变化时，探究 $b$ 与 $c$ 的关系式，并写出该关系式及解答过程 $(b$ 与 $c$ 的关系式用含 $n$ 的式子表示）．

题型：未知
难度：未知

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甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面 $OBA$ 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 $OA = 8 m$ ，桥拱顶点 $B$ 到水面的距离是 $4 m$ ．

（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；

（2）一只宽为 $1.2 m$ 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距 $O$ 点 $0.4 m$ 时，桥下水位刚好在 $OA$ 处，有一名身高 $1.68 m$ 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．

（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ ，该抛物线在 $x$ 轴下方部分与桥拱 $OBA$ 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移 $m (m > 0)$ 个单位长度，平移后的函数图象在 $8 ⩽ x ⩽ 9$ 时， $y$ 的值随 $x$ 值的增大而减小，结合函数图象，求 $m$ 的取值范围．