与两坐标轴的交点坐标及与坐标轴交点为顶点的三角形面积。如图，在 中， ， ， （圆心 在 内部）经过 、 两点，交 于点 ，过点 作 的切线交 于点 ．延长 交 于点 ，作 交 于点
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ， ，求 的值．
在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点 ， ，请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．
（1）在图1中画一个 ，使点 的横、纵坐标之和等于点 的横坐标；
（2）在图2中画一个 ，使点 ， 横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．
为培养学生数学学习兴趣，某校七年级准备开设“神奇魔方”、“魅力数独”、“数学故事”、“趣题巧解”四门选修课（每位学生必须且只选其中一门）．
（1）学校对七年级部分学生进行选课调查，得到如图所示的统计图．根据该统计图，请估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数．
（2）学校将选“数学故事”的学生分成人数相等的 ， ， 三个班，小聪、小慧都选择了“数学故事”，已知小聪不在 班，求他和小慧被分到同一个班的概率．（要求列表或画树状图）
在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程 ，操作步骤是：
第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点 ， ；
第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点 ，另一条直角边恒过点 ；
第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在 轴上点 处时，点 的横坐标 即为该方程的一个实数根（如图 ；
第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在 轴上另一点 处时，点 的横坐标 即为该方程的另一个实数根．
（1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点 （请保留作出点 时直角三角板两条直角边的痕迹）；
（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的 就是方程 的一个实数根；
（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程 的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；
（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当 ， ， ， 与 ， ， 之间满足怎样的关系时，点 ， ， ， 就是符合要求的一对固定点？
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