（本小题满分14分）已知椭圆的方程为：，其焦点在轴上，离心率_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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（本小题满分14分）已知椭圆的方程为：，其焦点在轴上，离心率.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点满足，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，求证：为定值.
（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由.

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以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 $X$ 表示。

（Ⅰ）如果 $X = 8$ ,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（Ⅱ）如果 $X = 9$ ，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。
（注：方差 $s^{2} = \frac{1}{n} [{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}]$ ，其中 $\bar{x}$ 为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，…… $x_{n}$ 的平均数）

题型：未知
难度：未知

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如图,在四棱锥 $P - A B C D$ 中, $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ,底面 $A B C D$ 是菱形, $A B = 2, ∠ B A D = 60^{°}$ .

(Ⅰ)求证: $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ;

(Ⅱ)若 $P A = A B$ ,求 $P B$ 与 $A C$ 所成角的余弦值；
(Ⅲ)当平面 $P B C$ 与平面 $P D C$ 垂直时,求 $P A$ 的长.

题型：未知
难度：未知

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已知函数 $f (x) = 4 \cos x \sin (x + \frac{π}{6}) - 1$ 。
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小正周期：
（Ⅱ）求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值。

题型：未知
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已知函数 $f (x) = \frac{2}{3} x + \frac{1}{2}$ ， $h (x) = \sqrt{x}$ ．
（Ⅰ）设函数 $F (x =) = 18 f (x) - x^{2} {[h (x)]}^{2}$ ，求 $F (x)$ 的单调区间与极值；
（Ⅱ）设 $a \in R$ ，解关于 $x$ 的方程 $l g [\frac{3}{2} f (x - 1) - \frac{3}{4}] = 2 l g h (a - x) - 2 l g h (4 - x)$ ；
（Ⅲ）设 $n \in N^{+}$ ，证明： $f (n) h (n) - [h (1) + h (2) + \dots + h (n)] \geq \frac{1}{6}$ ．

题型：未知
难度：未知

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过点 $C (0, 1)$ 的椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，椭圆与 $x$ 轴交于两点 $A (a, 0)$ 、 $B (- a, 0)$ ，过点 $C$ 的直线 $l$ 与椭圆交于另一点 $D$ ，并与 $x$ 轴交于点 $P$ ，直线 $A C$ 与直线 $B D$ 交于点 $Q$ ．

（I）当直线 $l$ 过椭圆右焦点时，求线段 $C D$ 的长；
（Ⅱ）当点 $P$ 异于点 $B$ 时，求证： $\overset{⇀}{O P} \cdot \overset{⇀}{O Q}$

题型：未知
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