按照规律填上所缺的单项式并回答问题: ⑴、、、,________,__________; ⑵试写出第2007个和第2008个单项式;⑶试写出第n个单项式
先化简,再求值: ( x + 2 ) ( x - 2 ) - x ( x - 1 ) ,其中 x = 1 2 .
在平面直角坐标系中,抛物线 y = 2 ( x - m ) 2 + 2 m ( m 为常数)的顶点为 A .
(1)当 m = 1 2 时,点 A 的坐标是 ,抛物线与 y 轴交点的坐标是 ;
(2)若点 A 在第一象限,且 OA = 5 ,求此抛物线所对应的二次函数的表达式,并写出函数值 y 随 x 的增大而减小时 x 的取值范围;
(3)当 x ⩽ 2 m 时,若函数 y = 2 ( x - m ) 2 + 2 m 的最小值为3,求 m 的值;
(4)分别过点 P ( 4 , 2 ) 、 Q ( 4 , 2 - 2 m ) 作 y 轴的垂线,交抛物线的对称轴于点 M 、 N .当抛物线 y = 2 ( x - m ) 2 + 2 m 与四边形 PQNM 的边有两个交点时,将这两个交点分别记为点 B 、点 C ,且点 B 的纵坐标大于点 C 的纵坐标.若点 B 到 y 轴的距离与点 C 到 x 轴的距离相等,直接写出 m 的值.
如图,在 ΔABC 中, ∠ C = 90 ° , AB = 5 , BC = 3 ,点 D 为边 AC 的中点.动点 P 从点 A 出发,沿折线 AB - BC 以每秒1个单位长度的速度向点 C 运动,当点 P 不与点 A 、 C 重合时,连结 PD .作点 A 关于直线 PD 的对称点 A ' ,连结 A ' D 、 A ' A .设点 P 的运动时间为 t 秒.
(1)线段 AD 的长为 ;
(2)用含 t 的代数式表示线段 BP 的长;
(3)当点 A ' 在 ΔABC 内部时,求 t 的取值范围;
(4)当 ∠ AA ' D 与 ∠ B 相等时,直接写出 t 的值.
实践与探究
操作一:如图①,已知正方形纸片 ABCD ,将正方形纸片沿过点 A 的直线折叠,使点 B 落在正方形 ABCD 的内部,点 B 的对应点为点 M ,折痕为 AE ,再将纸片沿过点 A 的直线折叠,使 AD 与 AM 重合,折痕为 AF ,则 ∠ EAF = 度.
操作二:如图②,将正方形纸片沿 EF 继续折叠,点 C 的对应点为点 N .我们发现,当点 E 的位置不同时,点 N 的位置也不同.当点 E 在 BC 边的某一位置时,点 N 恰好落在折痕 AE 上,则 ∠ AEF = 度.
在图②中,运用以上操作所得结论,解答下列问题:
(1)设 AM 与 NF 的交点为点 P .求证: ΔANP ≅ ΔFNE ;
(2)若 AB = 3 ,则线段 AP 的长为 .
《九章算术》中记载,浮箭漏(图① ) 出现于汉武帝时期,它由供水壶和箭壶组成,箭壶内装有箭尺,水匀速地从供水壶流到箭壶,箭壶中的水位逐渐上升,箭尺匀速上浮,可通过读取箭尺读数计算时间.某学校 STEAM 小组仿制了一套浮箭漏,并从函数角度进行了如下实验探究:
【实验观察】实验小组通过观察,每2小时记录一次箭尺读数,得到如表:
供水时间 x (小时)
0
2
4
6
8
箭尺读数 y (厘米)
18
30
42
54
【探索发现】①建立平面直角坐标系,如图②,横轴表示供水时间 x .纵轴表示箭尺读数 y ,描出以表格中数据为坐标的各点.
②观察上述各点的分布规律,判断它们是否在同一条直线上,如果在同一条直线上,求出这条直线所对应的函数表达式,如果不在同一条直线上,说明理由.
【结论应用】应用上述发现的规律估算:
①供水时间达到12小时时,箭尺的读数为多少厘米?
②如果本次实验记录的开始时间是上午 8 : 00 ,那当箭尺读数为90厘米时是几点钟?(箭尺最大读数为100厘米)