（本小题满分14分）如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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（本小题满分14分）如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心、正北方向
和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考
虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正
面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM＝R ，，OB与OM之间的夹角为.
（1）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成的函数.
（2）若 R＝45 m，求当为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？
其最大值是多少？

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已知数列 ${a_{n}}$ ： $a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{3} = r, a_{n + 3} = a_{n} + 2$ （ $n$ 是正整数），与数列 ${b_{n}}$ ： $b_{1} = 1, b_{2} = 0, b_{3} = - 1, b_{4} = 0, b_{n + 4} = b_{n}$ （ $n$ 是正整数）．记 $T_{n} = b_{1} a_{1} + b_{2} a_{2} + b_{3} a_{3} + . . . + b_{n} a_{n}$ ．
（1）若 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{12} = 64$ ，求 $r$ 的值；
（2）求证：当 $n$ 是正整数时， $T_{128} = - 4 n$ ；
（3）已知 $r > 0$ ，且存在正整数 $m$ ，使得在 $T_{12 m + 1}, T_{12 m + 2}, . . ., T_{12 m + 12}$ 中有4项为100．求 $r$ 的值，并指出哪4项为100．

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（3）已知点 $D, E, M$ 的坐标分别为 $(- 2, - 1) (2, - 1) (0, 1)$ ， $P$ 为双曲线 $C$ 上在第一象限内的点．记 $l$ 为经过原点与点 $P$ 的直线， $s$ 为 $∆ D E M$ 截直线 $l$ 所得线段的长．试将 $s$ 表示为直线 $l$ 的斜率k的函数．

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