探索规律：用棋子按下面的方式摆出正方形按图示规律填写下表：按

更新 2022-09-03
科目数学
题型未知题型
难度未知
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挑错有奖

探索规律：用棋子按下面的方式摆出正方形

按图示规律填写下表：

按照这种方式摆下去，摆第个正方形需要多少个棋子？
按照这种方式摆下去，摆第错误！不能通过编辑域代码创建对象。个正方形需要多少个棋子？

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下列运算正确的是 $($ 　　 $)$

A． $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B． $a^{2} - a = a$ C． ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$ D． $a^{8} \div a^{4} = a^{2}$

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2的倒数是 $($ 　　 $)$

A．2B． $\frac{1}{2}$ C． $- \frac{1}{2}$ D． $- 2$

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如图①，直线 $l$ 表示一条东西走向的笔直公路，四边形 $ABCD$ 是一块边长为100米的正方形草地，点 $A$ ， $D$ 在直线 $l$ 上，小明从点 $A$ 出发，沿公路 $l$ 向西走了若干米后到达点 $E$ 处，然后转身沿射线 $EB$ 方向走到点 $F$ 处，接着又改变方向沿射线 $FC$ 方向走到公路 $l$ 上的点 $G$ 处，最后沿公路 $l$ 回到点 $A$ 处．设 $AE = x$ 米（其中 $x > 0)$ ， $GA = y$ 米，已知 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系如图②所示，

（1）求图②中线段 $MN$ 所在直线的函数表达式；

（2）试问小明从起点 $A$ 出发直至最后回到点 $A$ 处，所走过的路径（即 $ΔEFG)$ 是否可以是一个等腰三角形？如果可以，求出相应 $x$ 的值；如果不可以，说明理由．

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问题1：如图①，在 $ΔABC$ 中， $AB = 4$ ， $D$ 是 $AB$ 上一点（不与 $A$ ， $B$ 重合）， $DE / / BC$ ，交 $AC$ 于点 $E$ ，连接 $CD$ ．设 $ΔABC$ 的面积为 $S$ ， $ΔDEC$ 的面积为 $S'$ ．

（1）当 $AD = 3$ 时， $\frac{S'}{S} =$ 　　；

（2）设 $AD = m$ ，请你用含字母 $m$ 的代数式表示 $\frac{S'}{S}$ ．

问题2：如图②，在四边形 $ABCD$ 中， $AB = 4$ ， $AD / / BC$ ， $AD = \frac{1}{2} BC$ ， $E$ 是 $AB$ 上一点（不与 $A$ ， $B$ 重合）， $EF / / BC$ ，交 $CD$ 于点 $F$ ，连接 $CE$ ．设 $AE = n$ ，四边形 $ABCD$ 的面积为 $S$ ， $ΔEFC$ 的面积为 $S'$ ．请你利用问题1的解法或结论，用含字母 $n$ 的代数式表示 $\frac{S'}{S}$ ．

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如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上， $AD$ 垂直于过点 $C$ 的切线，垂足为 $D$ ， $CE$ 垂直 $AB$ ，垂足为 $E$ ．延长 $DA$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连接 $FC$ ， $FC$ 与 $AB$ 相交于点 $G$ ，连接 $OC$ ．

（1）求证： $CD = CE$ ；

（2）若 $AE = GE$ ，求证： $ΔCEO$ 是等腰直角三角形．

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