(本题满分14分)某中学为了解学生的睡眠情况与学习效率的关系

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(本题满分14分) 某中学为了解学生的睡眠情况与学习效率的关系，从中抽取20名学生作为样本进行调查.调查的数据整理分组如下表示：

（1）将以上表格补充完整，

（2）在给定的坐标系内画出样本的频率分布直方图；
（3）为了比较睡眠情况与学习效率的关系，现从睡眠时间在与个小时的学生中抽取2人，问能在这两个睡眠时间内各抽到1个学生的概率是多少？

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在 $△ ABC$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边长分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $b = a + 1$ ， $c = a + 2$ .．

（1）若 $2 \sin C = 3 \sin A$ ，求 $△ ABC$ 的面积；

（2）是否存在正整数 $a$ ，使得 $△ ABC$ 为钝角三角形?若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，说明理由．

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记 $S_{n}$ 是公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $a_{3} = S_{5}, a_{2} a_{4} = S_{4}$ ．

（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

（2）求使 $S_{n} > a_{n}$ 成立的n的最小值．

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已知函数 $f (x) = x (1 - \ln x)$ .

（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；

（2）设 $a$ ， $b$ 为两个不相等的正数，且 $b \ln a - a \ln b = a - b$ ，证明： $2 < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} < e$ .

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在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $F_{1} (- \sqrt{17}, 0)$ 、 $F_{2} (\sqrt{17}, 0) |M F_{1}| - |M F_{2}| = 2$ ，点 $M$ 的轨迹为 $C$ .

（1）求 $C$ 的方程；

（2）设点 $T$ 在直线 $x = \frac{1}{2}$ 上，过 $T$ 的两条直线分别交 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点和 $P$ ， $Q$ 两点，且 $|TA| \cdot |TB| = |TP| \cdot |TQ|$ ，求直线 $AB$ 的斜率与直线 $PQ$ 的斜率之和.

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如图，在三棱锥 $A - BCD$ 中，平面 $ABD ⊥$ 平面 $BCD$ ， $AB = AD$ ， $O$ 为 $BD$ 的中点.

（1）证明： $OA ⊥ CD$ ；

（2）若 $△ OCD$ 是边长为1的等边三角形，点 $E$ 在棱 $AD$ 上， $DE = 2 EA$ ，且二面角 $E - BC - D$ 的大小为 $45 °$ ，求三棱锥 $A - BCD$ 的体积.

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