评委会把同学们上交的作品的件数按5天一组分组统计,绘制了频率分布直方图,如图所示,已知从左到右各长方形的高的比为2:3:4:6:4:1,第三组的频数为 12 ,请解答下列问题: (1)本次活动共有多少件作品参加评比? (2)哪组上交的作品量最多?有多少件? (3)经过评比,第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖,问这两组哪组的获奖率高?
0 1 6 11 16 21 26 31
用数学归纳法证明:
已知下列方程(1),(2),(3)中至少有一个方程有实根,求实数的取值范围.
已知A(,),B(,)是函数的图象上的任意两点(可以重合),点M在直线上,且. (1)求+的值及+的值 (2)已知,当时,+++,求; (3)在(2)的条件下,设=,为数列{}的前项和,若存在正整数、, 使得不等式成立,求和的值.
已知点是椭圆的右焦点,点、分别是轴、轴上的动点,且满足.若点满足. (Ⅰ)求点的轨迹的方程; (Ⅱ)设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点,直线、与直线分别交 于点、(为坐标原点),试判断是否为定值?若是,求出这个定值;若不是, 请说明理由.
已知函数,若存在使得恒成立,则称是的 一个“下界函数” . (I)如果函数(t为实数)为的一个“下界函数”, 求t的取值范围; (II)设函数,试问函数是否存在零点,若存在,求出零点个数; 若不存在,请说明理由.