如图，已知AB为⊙O的直径，BD为⊙O的切线，过点B的弦BC

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，已知AB为⊙O的直径，BD为⊙O的切线，过点B的弦BC⊥OD交⊙O于点C，垂足为M．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）当BC=BD，且BD=6cm时，求图中阴影部分的面积（结果不取近似值）

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数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．

探究一：求不等式 $| x - 1 | < 2$ 的解集

（1）探究 $| x - 1 |$ 的几何意义

如图①，在以 $O$ 为原点的数轴上，设点 $A'$ 对应的数是 $x - 1$ ，由绝对值的定义可知，点 $A'$ 与点 $O$ 的距离为 $| x - 1 |$ ，可记为 $A' O = | x - 1 |$ ．将线段 $A' O$ 向右平移1个单位得到线段 $AB$ ，此时点 $A$ 对应的数是 $x$ ，点 $B$ 对应的数是1．因为 $AB = A' O$ ，所以 $AB = | x - 1 |$ ．因此， $| x - 1 |$ 的几何意义可以理解为数轴上 $x$ 所对应的点 $A$ 与1所对应的点 $B$ 之间的距离 $AB$ ．

（2）求方程 $| x - 1 | = 2$ 的解

因为数轴上3和 $- 1$ 所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为3， $- 1$ ．

（3）求不等式 $| x - 1 | < 2$ 的解集

因为 $| x - 1 |$ 表示数轴上 $x$ 所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数 $x$ 的范围．

请在图②的数轴上表示 $| x - 1 | < 2$ 的解集，并写出这个解集．

探究二：探究 $\sqrt{{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2}}$ 的几何意义

（1）探究 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 的几何意义

如图③，在直角坐标系中，设点 $M$ 的坐标为 $(x, y)$ ，过 $M$ 作 $MP ⊥ x$ 轴于 $P$ ，作 $MQ ⊥ y$ 轴于 $Q$ ，则 $P$ 点坐标为 $(x, 0)$ ， $Q$ 点坐标为 $(0, y)$ ， $OP = | x |$ ， $OQ = | y |$ ，在 $Rt Δ OPM$ 中， $PM = OQ = | y |$ ，则 $MO = \sqrt{O P^{2} + P M^{2}} = \sqrt{| x |^{2} + | y |^{2}} = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ ，因此， $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 的几何意义可以理解为点 $M (x, y)$ 与点 $O (0, 0)$ 之间的距离 $MO$ ．

（2）探究 $\sqrt{{(x - 1)}^{2} + {(y - 5)}^{2}}$ 的几何意义

如图④，在直角坐标系中，设点 $A'$ 的坐标为 $(x - 1, y - 5)$ ，由探究二（1）可知， $A' O = \sqrt{{(x - 1)}^{2} + {(y - 5)}^{2}}$ ，将线段 $A' O$ 先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段 $AB$ ，此时点 $A$ 的坐标为 $(x, y)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(1, 5)$ ，因为 $AB = A' O$ ，所以 $AB = \sqrt{{(x - 1)}^{2} + {(y - 5)}^{2}}$ ，因此 $\sqrt{{(x - 1)}^{2} + {(y - 5)}^{2}}$ 的几何意义可以理解为点 $A (x, y)$ 与点 $B (1, 5)$ 之间的距离 $AB$ ．

（3）探究 $\sqrt{{(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2}}$ 的几何意义

请仿照探究二（2）的方法，在图⑤中画出图形，并写出探究过程．

（4） $\sqrt{{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2}}$ 的几何意义可以理解为：　　．

拓展应用：

（1） $\sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2}} + \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y + 5)}^{2}}$ 的几何意义可以理解为：点 $A (x, y)$ 与点 $E (2, - 1)$ 的距离和点 $A (x, y)$ 与点 $F$ 　　（填写坐标）的距离之和．

（2） $\sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2}} + \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y + 5)}^{2}}$ 的最小值为　　（直接写出结果）

题型：未知
难度：未知

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青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨 $\frac{1}{3}$ ．下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：

	淡季	旺季
未入住房间数	10	0
日总收入（元 $)$	24000	40000

（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？

（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？

题型：未知
难度：未知

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已知：如图，在菱形 $ABCD$ 中，点 $E$ ， $O$ ， $F$ 分别为 $AB$ ， $AC$ ， $AD$ 的中点，连接 $CE$ ， $CF$ ， $OE$ ， $OF$ ．

（1）求证： $ΔBCE ≅ ΔDCF$ ；

（2）当 $AB$ 与 $BC$ 满足什么关系时，四边形 $AEOF$ 是正方形？请说明理由．

题型：未知
难度：未知

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$A$ ， $B$ 两地相距 $60 km$ ，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 表示两人离 $A$ 地的距离 $s (km)$ 与时间 $t (h)$ 的关系，请结合图象解答下列问题：

（1）表示乙离 $A$ 地的距离与时间关系的图象是　　（填 $l_{1}$ 或 $l_{2})$ ；甲的速度是　　 $km / h$ ，乙的速度是　　 $km / h$ ；

（2）甲出发多少小时两人恰好相距 $5 km$ ？

题型：未知
难度：未知

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如图， $C$ 地在 $A$ 地的正东方向，因有大山阻隔，由 $A$ 地到 $C$ 地需绕行 $B$ 地．已知 $B$ 地位于 $A$ 地北偏东 $67 °$ 方向，距离 $A$ 地 $520 km$ ， $C$ 地位于 $B$ 地南偏东 $30 °$ 方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求 $A$ 地到 $C$ 地之间高铁线路的长．（结果保留整数）

（参考数据： $\sin 67 ° \approx \frac{12}{13}$ ， $\cos 67 ° \approx \frac{5}{13}$ ， $\tan 67 ° \approx \frac{12}{5}$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$

题型：未知
难度：未知

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