一个圆锥高h为，侧面展开图是个半圆，求：（1）其母线l与底面

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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挑错有奖

一个圆锥高h为，侧面展开图是个半圆，求：
（1）其母线l与底面半径r之比；
（2）锥角；
（3）圆锥的表面积

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（1）求复数；（2）求的模．

题型：未知
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（1）已知函数 $f (x) = r x - x^{`} + (1 - r) (x > 0)$ ，其中 $r$ 为有理数，且 $0 < r < 1$ . 求 $f (x)$ 的最小值；
（2）试用（1）的结果证明如下命题：设 $a_{1} \geq 0, a_{2} \geq 0$ ， $b_{1}, b_{2}$ 为正有理数. 若 $b_{1} + b_{2} = 1$ ，则 $a_{1}^{k_{1}} a_{2}^{k_{2}} \leq a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$ ；
（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.
注：当 $α$ 为正有理数时，有求导公式 ${(x^{α})}^{`} = α x^{α - 1}$ .

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设 $A$ 是单位圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上的任意一点， $l$ 是过点 $A$ 与 $x$ 轴垂直的直线， $D$ 是直线 $l$ 与 $x$  轴的交点，点 $M$ 在直线 $l$ 上，且满足 $|D M| = m |D A| (m > 0, 且 m \neq 1)$ . 当点 $A$ 在圆上运动时，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ．
（Ⅰ）求曲线 $C$ 的方程，判断曲线 $C$ 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
（Ⅱ）过原点且斜率为 $k$ 的直线交曲线 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，其中 $P$ 在第一象限，它在 $y$ 轴上的射影为点 $N$ ，直线 $Q N$ 交曲线 $C$ 于另一点 $H$ . 是否存在 $m$ ，使得对任意的 $k > 0$ ，都有 $P Q ⊥ P H$ ？若存在，求 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.

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根据以往的经验，某工程施工期间的降水量 $X$ （单位： $m m$ ）对工期的影响如下表：

降水量 $X$	$X < 300$	$300 \leq X < 700$	$700 \leq X < 900$	$X \geq 900$
工期延误天数 $Y$	0	2	6	10

历年气象资料表明，该工程施工期间降水量 $X$ 小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：
（Ⅰ）工期延误天数 $Y$ 的均值与方差；
（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率.

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如图1， $∠ A C B = 45^{°}, B C = 3$ ，过动点 $A$ 作 $A D ⊥ B C$ ，垂足 $D$ 在线段 $B C$ 上且异于点 $B$ ，连接 $A B$ ，沿 $A D$ 将 $△ A B D$ 折起，使 $∠ B D C = 90^{°}$ （如图2所示）．
（Ⅰ）当 $B D$ 的长为多少时，三棱锥 $A - B C D$ 的体积最大；
（Ⅱ）当三棱锥 $A - B C D$ 的体积最大时，设点 $E, M$ 分别为棱 $B C, A C$ 的中点，试在棱 $C D$ 上确定一点 $N$ ，使得 $E N ⊥ B M$ ，并求 $E N$ 与平面 $B M N$ 所成角的大小．

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