解方程组：_优题课试题网

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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解方程组：

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如图， $▱ ABCD$ 中，点 $E$ 是边 $AD$ 的中点，连接 $CE$ 并延长交 $BA$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $AC$ ， $DF$ ．求证：四边形 $ACDF$ 是平行四边形．

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先化简，再求值： $\frac{a - 1}{a^{2} - 2 a + 1} - \frac{a - 1}{a^{2} - 1}$ ，其中 $a = \sqrt{3}$ ．

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计算： ${(3 - π)}^{0} - 2 \cos 30 ° + | 1 - \sqrt{3} | + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ．

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在等腰三角形 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，作 $CM ⊥ AB$ 交 $AB$ 于点 $M$ ， $BN ⊥ AC$ 交 $AC$ 于点 $N$ ．

（1）在图1中，求证： $ΔBMC ≅ ΔCNB$ ；

（2）在图2中的线段 $CB$ 上取一动点 $P$ ，过 $P$ 作 $PE / / AB$ 交 $CM$ 于点 $E$ ，作 $PF / / AC$ 交 $BN$ 于点 $F$ ，求证： $PE + PF = BM$ ；

（3）在图3中动点 $P$ 在线段 $CB$ 的延长线上，类似（2）过 $P$ 作 $PE / / AB$ 交 $CM$ 的延长线于点 $E$ ，作 $PF / / AC$ 交 $NB$ 的延长线于点 $F$ ，求证： $AM \cdot PF + OM \cdot BN = AM \cdot PE$ ．

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如图，已知二次函数图象的顶点坐标为 $A (1, 4)$ ，与坐标轴交于 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 三点，且 $B$ 点的坐标为 $(- 1, 0)$ ．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在二次函数图象位于 $x$ 轴上方部分有两个动点 $M$ 、 $N$ ，且点 $N$ 在点 $M$ 的左侧，过 $M$ 、 $N$ 作 $x$ 轴的垂线交 $x$ 轴于点 $G$ 、 $H$ 两点，当四边形 $MNHG$ 为矩形时，求该矩形周长的最大值；

（3）当矩形 $MNHG$ 的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点 $P$ ，使 $ΔPNC$ 的面积是矩形 $MNHG$ 面积的 $\frac{9}{16}$ ？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．

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