如图， $△ABC$是一张锐角三角形的硬纸片． $AD$是边 $BC$上的高， $BC=40cm$， $AD=30cm$．从这张硬纸片剪下一个长 $HG$是宽 $HE$的 $2$倍的矩形 $EFGH$．使它的一边 $EF$在 $BC$上，顶点 $G$， $H$分别在 $AC$， $AB$上． $AD$与 $HG$的交点为 $M$．

（1）求证： $\frac{AM}{AD}=\frac{HG}{BC}$；
（2）求这个矩形 $EFGH$的周长．