(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列中,是数列的前项和,对任意,有 .函数,数列的首项. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)令求证:是等比数列并求通项公式; (Ⅲ)令,,求数列的前n项和.
(本小题满分13分)已知函数().(Ⅰ)当时,求函数的极值;(Ⅱ)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.
(本小题满分14分)已知函数(). (Ⅰ)当时,求函数的单调区间;(Ⅱ)当时,取得极值. (1)若,求函数在上的最小值;(2)求证:对任意,都有.
(本小题满分13分)如图,椭圆:()和圆:,已知圆将椭圆的长轴三等分,椭圆右焦点到直线的距离为,椭圆的下顶点为,过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点、. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线、分别与椭圆相交于另一个交点为点、. ①求证:直线经过一定点;
y
②试问:是否存在以为圆心,为半径的圆,使得直线和直线都与圆相交?若存在,请求出所有的值;若不存在,请说明理由.
(本小题满分12分)已知数列的前项和,数列满足,().(Ⅰ)求数列,的通项公式;(Ⅱ)记数列的前项和为,求时的的最大值.
(本小题满分12分)2014年APEC峰会于11月10-11日在北京召开.据志愿服务联合会的统计显示:APEC领导人会议周期间,2000名志愿者共上岗服务11219人次,累计服务132022小时,所有的志愿者来自全国四大地理区域,数据如下表所示:
为了更进一步了解有关信息,采用分层抽样的方法从上述四大地理区域的志愿者中随机抽取50名参加问卷调查. (Ⅰ)从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名,求这两名来自同一地理区域的概率; (Ⅱ)在参加问卷调查的50名志愿者中,从来自北方地区、西北地区的志愿者中随机抽取两名,用表示抽得北方地区志愿者的人数,求的分布列和数学期望.