如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中， $PA\perp$ 底面 $ABCD$ ，四边形 $ABCD$ 中， $AB\perp AD,AB+AD=4,CD=\sqrt{2},\angle CDA={45}^{°}$ .

（I）求证：平面 $PAB\perp$ 平面 $PAD$ ；
（II）设 $AB=AP$ .
（i）若直线 $PB$ 与平面 $PCD$ 所成的角为 ${30}^{°}$ ，求线段 $AB$ 的长；
（ii）在线段 $AD$ 上是否存在一个点 $G$ ，使得点 $G$ 到点 $P,B,C,D$ 的距离都相等？说明理由.