（本小题满分12分）在中，分别为角的对边，向量，且．（Ⅰ）求

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分12分）在中，分别为角的对边，向量，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的值．

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如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的菱形， $∠ A B C = 60 °$ .已知 $P B = P D = 2, P A = \sqrt{6}$  .

（Ⅰ）证明： $P C ⊥ B D$

（Ⅱ）若 $E$ 为 $P A$ 的中点，求三菱锥 $P - B C E$ 的体积.

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为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：

（Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；
（Ⅱ）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 $x_{1}, x_{2}$ ，估计 $x_{1} - x_{2}$ 的值.

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设函数 $f (x) = \sin x + \sin (x + \frac{π}{3})$ .
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小值，并求使 $f (x)$ 取得最小值的的集合；
（Ⅱ）不画图，说明函数 $y = f (x)$ 的图像可由 $y = \sin x$ 的图象经过怎样的变化得到.

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给定数列 $a_{1}, a_{2}, . ., a_{n}$ .对 $i = 1, 2, . . ., n - 1$ ，该数列前 $i$ 项的最大值记为 $A_{i}$ ，后 $n - i$ 项 $a_{i + 1}, a_{i + 2}, . . ., a_{n}$ 的最小值记为 $B_{i}$ ， $d_{i} = A_{i} - B_{i}$ .
（1）设数列 ${a_{n}}$ 为 $3, 4, 7, 1$ ，写出 $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ 的值；
（2）设 $a_{1}, a_{2}, . ., a_{n}$ $(n \geq 4)$ 是公比大于1的等比数列，且 $a_{1} > 0$ .证明： $d_{1}, d_{2}, . . ., d_{n - 1}$ 是等比数列.
（3）设 $d_{1}, d_{2}, . . ., d_{n - 1}$ 是公差大于0的等差数列，且 $d_{1} > 0$ ，证明： $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n - 1}$ 是等差数列.

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直线 $y = k x + m (m \neq 0)$ 与椭圆 $W : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 相交于 $A, C$ 两点， $O$ 为坐标原点.
（Ⅰ）当点 $B$ 的坐标为 $(0, 1)$ ，且四边形 $O A B C$ 为菱形时，求 $A C$ 的长；
（Ⅱ）当点 $B$ 在 $W$ 上且不是 $W$ 的顶点时，证明：四边形 $O A B C$ 不可能为菱形.

题型：未知
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