给定椭圆＞＞0，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的伴随圆．若椭

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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给定椭圆＞＞0，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为．
（1）求椭圆的方程及其“伴随圆”方程；
（2）若倾斜角为的直线与椭圆C只有一个公共点，且与椭圆的伴随圆相交于M、N两
点，求弦MN的长；
（3）点是椭圆的伴随圆上的一个动点，过点作直线，使得与椭圆都只有一个公共点，求证：⊥.

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某企业在第 $1$ 年初购买一台价值为 $120$ 万元的设备 $M, M$ 的价值在使用过程中逐年减少，从第 $2$ 年到第 $6$ 年，每年初 $M$ 的价值比上年初减少 $10$ 万元；从第 $7$ 年开始，每年初 $M$ 的价值为上年初的 $75 %$ ．
（1）求第 $n$ 年初 $M$ 的价值 $a_{n}$ 的表达式；
（2）设 $A_{n} = \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n}$ ,若 $A_{n}$ 大于80万元，则 $M$ 继续使用，否则须在第 $n$ 年初对 $M$ 更新，证明：须在第9年初对 $M$ 更新．

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如图，在圆锥 $P O$ 中，已知 $P O = \sqrt{2}$ , $⊙ O$ 的直径 $A B = 2$ ,点 $C$ 在 $A B$ 上，且 $∠ C A B = 30 °$ , $D$ 为 $A C$ 的中点．
（I）证明： $A C ⊥ 平面 P O D$

（II）求直线和平面 $P A C$ 所成角的正弦值．

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某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 $Y$ （单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量 $X$ （单位：毫米）有关．据统计，当 $X = 70$ 时， $Y = 460$ ； $X$ 每增加10， $Y$ 增加5；已知近20年 $X$ 的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．
（I）完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表

降雨量	70	110	140	160	200	220
频率	$\frac{1}{20}$		$\frac{4}{20}$			$\frac{2}{20}$

（II）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．

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（I）求角 $C$ 的大小；
（II）求 $\sqrt{3} \sin A - \cos (B + \frac{π}{4})$ 的最大值，并求取得最大值时角 $A, B$ 的大小．

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在数1和100之间插入 $n$ 个实数，使得这 $n + 2$ 个数构成递增的等比数列，将这 $n + 2$ 个数的乘积记作 $T_{n}$ ，再令 $a_{n} = \log (T_{n})$ , $n \geq 1$ .
（Ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设 $b_{n} = \tan (a_{n}) \cdot \tan (a_{n - 1})$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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