某学校餐厅新推出、、、四款套餐,某一天四款套餐销售情况的条形图如下.为了了解同学对新推出的四款套餐的评价,对每位同学都进行了问卷调查,然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20分进行统计,统计结果如下面表格所示:(1) 若同学甲选择的是款套餐,求甲的调查问卷被选中的概率;(2) 若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面谈,求这2人中至少有一人选择的是款套餐的概率。
(本小题满分14分) 已知椭圆:上的一动点到右焦点的最短距离为,且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长. (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 过点(,)的动直线交椭圆于、两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点,使得无论如何转动,以为直径的圆恒过定点?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
.(本小题满分13分) 已知数列中,,,其前项和为,且当时,. (Ⅰ)求证:数列是等比数列; (Ⅱ)求数列的通项公式; (Ⅲ)令,记数列的前项和为,证明对于任意的正整数,都有成立.
(本小题满分12分) 已知函数 (Ⅰ)若在上是增函数,求b的取值范围; (Ⅱ)若在x=1时取得极值,且时,恒成立,求c的取值范围.
如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面为直角梯形,,且PA=AB=BC=1,AD=2. (Ⅰ)设M为PD的中点,求证:平面PAB; (Ⅱ)求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值.
(本小题满分12分) 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落过程中它将3次遇到黑色障碍物,最后落入袋或袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是. (Ⅰ)求小球落入袋中的概率; (Ⅱ)在容器入口处依次放入4个小球,求恰好有3个球落入袋中的概率.