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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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求函数的定义域

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已知 $a$ ， $b$ 是实数，函数 $f (x) = x^{3} + a x$ , $f^{`} (x)$ 和 $g^{`} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，若 $f^{`} (x) g^{`} (x) \geq 0$ 在区间I上恒成立，则称 $f (x)$ 和 $g (x)$ 在区间I上单调性一致
（1）设 $a > 0$ ，若函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 在区间 $[- 1, + \infty)$ 上单调性一致,求实数 $b$ 的取值范围；
（2）设 $a < 0$ 且 $a \neq b$ ，若函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 在以 $a$ ， $b$ 为端点的开区间上单调性一致，求 $|a - b|$ 的最大值。

题型：未知
难度：未知

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如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $M, N$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 $P, A$ 两点，其中 $P$ 在第一象限．过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $C$ ．连接 $A C$ ，并延长交椭圆于点 $B$ ．设直线 $P A$ 的斜率为 $k$ ．

（Ⅰ）当直线 $P A$ 平分线段 $M N$ 时，求 $k$ 的值；
（Ⅱ）当 $k = 2$ 时，求点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离；
（Ⅲ）对任意 $k > 0$ ，求证： $P A ⊥ P B$ ．

题型：未知
难度：未知

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请你设计一个包装盒，如图所示， $A B C D$ 是边长为60 $c m$ 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 $A B C D$ 四个点重合于图中的点 $P$ ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒， $E, F$ 在 $A B$ 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 $A E = F B = x c m$ .

（1）若广告商要求包装盒侧面积 $S (c m^{2})$ 最大，试问 $x$ 应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积 $V (c m^{3})$ 最大，试问 $x$ 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

题型：未知
难度：未知

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如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = A D$ ， $∠ B A D = 60^{°}$ ， $E, F$ 分别是 $A P, A D$ 的中点.
求证：（1）直线 $E F / /$ 平面 $P C D$ ；
（2）平面 $B E F ⊥$ 平面 $P A D$ .

题型：未知
难度：未知

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在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对应的边为 $a, b, c$

（1）若 $\sin (A + \frac{π}{6}) = 2 \cos A$ ,求 $A$ 的值；
（2）若 $\cos A = \frac{1}{3}, b = 3 c$ ，求 $\sin C$ 的值.

题型：未知
难度：未知

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