已知函数．（Ⅰ）若，求的最大值；（Ⅱ）在中，若，，求的值

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已知函数．
（Ⅰ）若，求的最大值；
（Ⅱ）在中，若，，求的值

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A.（选做题选修 $4 - 1$ ）如图，在 $△ ABC$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ， $BD ⊥ AC$ ， $D$ 为垂足， $E$ 为 $BC$ 得中点，求证： $∠ EDC = ∠ ABD$ 。

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记 $U = {1, 2, \dots, 100}$ . 对数列 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ 和 $U$ 的子集 $T$ , 若 $T = \emptyset$ , 定义 $S_{T} = 0;$ 若

$T = \{t_{1}, t_{2}, \dots, t_{k}\}$ , 定义 $S_{T} = a_{t_{1}} + a_{t_{2}} + \dots + a_{t_{k}}$ . 例如 : $T = {1, 3, 66}$ 时 ,

$S_{T} = a_{1} + a_{3} + a_{66} .$ 现设 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ 是公比为 3 的等比数列, 且当 $T = {2, 4}$ 时,

$S_{T} = 30$

(1) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式;

(2) 对任意正整数 $k (1 \leq k \leq 100)$ , 若 $T \subseteq {1, 2, \dots, k}$ , 求证: $S_{T} < a_{k + 1}$ ;

(3) 设 $C \subseteq U, D \subseteq U, S_{C} \geq S_{D}$ , 求证: $S_{C} + S_{C \cap D} \geq 2 S_{D}$ .

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已知函数 $f (x) = a^{x} + b^{x} (a > 0, b > 0, a \neq 1, b \neq 1)$ .

（1）设 $a = 2, b = \frac{1}{2}$ .

①求方程 $f (x) = 2$ 的根;

②若对任意 $x \in R$ , 不等式 $f (2 x) \geq m f (x) - 6$ 恒成立, 求实数 $m$ 的最大值;

（2）若 $0 < a < 1, b > 1$ , 函数 $g (x) = f (x) - 2$ 有且只有 1 个零点, 求 $ab$ 的值。

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如图, 在平面直角坐标系 $xOy$ 中, 已知以 $M$ 为圆心的圆

$M : x^{2} + y^{2} - 12 x - 14 y + 60 = 0$ 及其上一点 $A (2, 4)$

(1) 设圆 $N$ 与 $x$ 轴相切, 与圆 $M$ 外切, 且圆心 $N$ 在直线 $x = 6$ 上, 求圆 $N$ 的标准方程;

(2) 设平行于 $OA$ 的直线 $l$ 与圆 $M$ 相交于 $B, C$ 两点, 且 $BC = OA$ , 求直线 $l$ 的方程;

(3) 设点 $T (t, 0)$ 满足：存在圆 $M$ 上的两点 $P$ 和 $Q$ , 使得 $\vec{TA} + \vec{TP} = \vec{TQ}$ , 求实数 $t$ 的取值范围。

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现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成,上部分的形状是正四棱雉 $P - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ,下部分的形状是正四棱柱 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ (如图所示)，并要求正四棱柱的高 $P O_{1}$ 的四倍.

(1)若 $AB = 6 m ， {PO}_{1} = 2 m$ ,则仓库的容积是多少?

(2)若正四棱柱的侧棱长为 $6 m$ ，则当 $P O_{1}$ 为多少时,仓库的容积最大？

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