设,分别是椭圆：的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于、两点

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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设,分别是椭圆：的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于、两点，且，，成等差数列，
（Ⅰ）求的离心率；
（Ⅱ）设点满足,求的方程。

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函数 $f (x) = A \sin (ω x - \frac{π}{6}) + 1 (A > 0, ω > 0)$ 的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，
（1）求函数 $f (x)$ 的解析式；
（2）设 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $f (\frac{α}{2}) = 2$ ，求 $α$ 的值

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已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q = - \frac{1}{2}$ .
（1）若 $a_{3}$ =，求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和；
（Ⅱ）证明：对任意 $k \in N_{+}$ ， $a_{k}$ ， $a_{k + 2}$ ， $a_{k + 1}$ 成等差数列.

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已知 $a$ 为正实数, $n$ 为自然数,抛物线 $y = - x^{2} + \frac{a_{n}}{2}$ 与 $x$ 轴正半轴相交于点 $A$ ,设 $f (n)$ 为该抛物线在点 $A$ 处的切线在 $y$ 轴上的截距.
（1）用 $a$ 和 $n$ 表示 $f (n)$ ；
（2）求对所有 $n$ 都有 $\frac{f (n) - 1}{f (n) + 1} \geq \frac{n^{3}}{n^{3} + 1}$ 成立的 $a$ 的最小值；
（3）当 $0 < a < 1$ 时,比较 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{f (k) - f (2 k)}$ 与 $\frac{27}{4} \cdot \frac{f (1) - f (n)}{f (0) - f (1)}$ 的大小,并说明理由.

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如图，动点 $M$ 到两定点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (2, 0)$ 构成 $△ M A B$ ，且 $∠ M B A = 2 ∠ M A B$ ，设动点 $M$ 的轨迹为 $C$ .

（Ⅰ）求轨迹 $C$ 的方程；
（Ⅱ）设直线 $y = - 2 x + m$ 与 $y$ 轴交于点 $P$ ，与轨迹 $C$ 相交于点 $Q$ 、 $R$ ，且 $|P Q| < |P R|$ ，求 $\frac{|P R|}{|P Q|}$ 的取值范围。

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已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} a_{n} = S_{2} + S_{n}$ 对一切正整数 $n$ 都成立。
（Ⅰ）求 $a_{1}$ ， $a_{2}$ 的值；
（Ⅱ）设 $a_{1} > 0$ ，数列 $\{l g \frac{10 a_{1}}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，当 $n$ 为何值时， $T_{n}$ 最大？并求出 $T_{n}$ 的最大值.

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