(本小题满分15分)如图,椭圆的中心在原点,焦点在轴上,分别是椭圆的左、右焦点,是椭圆短轴的一个端点,过的直线与椭圆交于两点,的面积为,的周长为.(1)求椭圆的方程;(2)设点的坐标为,是否存在椭圆上的点及以为圆心的一个圆,使得该圆与直线都相切,如存在,求出点坐标及圆的方程,如不存在,请说明理由.
(本题14分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)。(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系;(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益为多少万元?
(本题13分)设函数, 其中 (1)求的最小正周期和最大值;(2)求的单调递增区间。
(本题13分)在中,内角的对边分别为,。(1)求边的大小;(2)求的面积。
(本题13分)已知等差数列中,,。(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前20项和。
设函数 f ( x ) = a x 2 + b x + k ( k > 0 ) 在 x = 0 处取得极值,且曲线 y = f ( x ) 在点 ( 1 , f ( 1 ) ) 处的切线垂直于直线 x + 2 y + 1 = 0 . (1)求 a , b 的值;
(2)若函数 g ( x ) = e x f ( x ) ,讨论 g ( x ) 的单调性。