如图,在中,,,将绕点沿逆时针方向旋转得到.(1)线段的长是 ,的度数是 ;(2)连结,求证:四边形是平行四边形;
为庆祝中国共产党建党100周年,某中学开展“学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行”知识竞赛,现随机抽取部分学生的成绩分成 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五个等级进行统计,并绘制成两幅不完整的统计图,请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)本次调查中共抽取 名学生;
(2)补全条形统计图;
(3)在扇形统计图中,求 B 等级所对应的扇形圆心角的度数;
(4)若该校有1200名学生参加此次竞赛,估计这次竞赛成绩为 A 和 B 等级的学生共有多少名?
如图,抛物线 y = a x 2 + bx + 3 ( a ≠ 0 ) 与 x 轴交于点 A ( 1 , 0 ) 和点 B ( - 3 , 0 ) ,与 y 轴交于点 C ,连接 BC ,与抛物线的对称轴交于点 E ,顶点为点 D .
(1)求抛物线的解析式;
(2)点 P 是对称轴左侧抛物线上的一个动点,点 Q 在射线 ED 上,若以点 P 、 Q 、 E 为顶点的三角形与 ΔBOC 相似,请直接写出点 P 的坐标.
如图,正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,在平面直角坐标系内, ΔABO 的三个顶点坐标分别为 A ( - 1 , 3 ) , B ( - 4 , 3 ) , O ( 0 , 0 ) .
(1)画出 ΔABO 关于 x 轴对称的△ A 1 B 1 O ,并写出点 A 1 的坐标;
(2)画出 ΔABO 绕点 O 顺时针旋转 90 ° 后得到的△ A 2 B 2 O ,并写出点 A 2 的坐标;
(3)在(2)的条件下,求点 A 旋转到点 A 2 所经过的路径长(结果保留 π ) .
先化简,再求值: ( a - a 2 a + 1 ) ÷ a 2 a 2 - 1 ,其中 a = 2 cos 60 ° + 1 .
如图,抛物线 y = a x 2 + bx + c 与 x 轴交于原点 O 和点 A ,且其顶点 B 关于 x 轴的对称点坐标为 ( 2 , 1 ) .
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)抛物线的对称轴上存在定点 F ,使得抛物线 y = a x 2 + bx + c 上的任意一点 G 到定点 F 的距离与点 G 到直线 y = - 2 的距离总相等.
①证明上述结论并求出点 F 的坐标;
②过点 F 的直线 l 与抛物线 y = a x 2 + bx + c 交于 M , N 两点.
证明:当直线 l 绕点 F 旋转时, 1 MF + 1 NF 是定值,并求出该定值;
(3)点 C ( 3 , m ) 是该抛物线上的一点,在 x 轴, y 轴上分别找点 P , Q ,使四边形 PQBC 周长最小,直接写出 P , Q 的坐标.