本小题满分14分）过轴上动点引抛物线的两条切线、，、为切点,

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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本小题满分14分）
过轴上动点引抛物线的两条切线、，、为切点,设切线、的斜率分别为和．

(1)求证：；
(2)求证：直线恒过定点，并求出此定点坐标；
(3)设的面积为，当最小时，求的值．

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（1）讨论函数 $f (x) = \frac{x - 2}{x + 2} e^{x}$ 的单调性，并证明当 $x$ >0时， $(x - 2) e^{x} + x + 2 > 0;$

（2）证明：当 $a \in [0, 1)$ 时，函数 $g （ x ） = \frac{e^{x} - ax - a}{x^{2}} (x > 0)$ 有最小值.设 $g （ x ）$ 的最小值为 $h (a)$ ，求函数 $h (a)$ 的值域.

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已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{t} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的焦点在 $x$ 轴上， A是 E的左顶点，斜率为 $k (k > 0)$ 的直线交 E于 A, M两点，点 N在 E上， $MA ⊥ NA$ .

（1）当 $t = 4$ ， $| AM | = | AN |$ 时，求 $△ AMN$ 的面积；

（2）当 $2 | AM | = | AN |$ 时，求 k的取值范围.

题型：未知
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如图，菱形ABCD的对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$ ， $AB = 5$ ， $AC = 6$ ，点 $E, F$ 分别在 $AD, CD$ 上， $AE = CF = \frac{5}{4}$ ， $EF$ 交 $BD$ 于点 $H$ .将 $△ DEF$ 沿 $EF$ 折到 $△ D^{'} EF$ 的位置， $O D^{'} = \sqrt{10}$ .

（1）证明： $D^{'} H ⊥$ 平面 $ABCD$ ；

（2）求二面角 $B - D^{'} A - C$ 的正弦值.

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某险种的基本保费为 $a$ （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

上年度出险次数	0	1	2	3	4	$\geq$ 5
保费	0.85a	a	1.25a	1.5a	1.75a	2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

一年内出险次数	0	1	2	3	4	$\geq$ 5
概率	0.30	0.15	0.20	0.20	0.10	0. 05

（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；

（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

题型：未知
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$S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $a_{n} = 1 ， S_{7} = 28 .$ 记 $b_{n} = [\lg a_{n}]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，如 $[0.9] =0 ， [\lg 99] =1$ .

（1）求 $b_{1} ， b_{11} ， b_{101}$ ；

（2）求数列 ${b_{n}}$ 的前1 000项和.

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