解方程:
在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 y = m x 2 - 2 mx - 3 m ≠ 0 与 x 轴交于 A 3 , 0 , B 两点.
(1)求抛物线的解析式及点 B 的坐标;
(2)当 - 2 < x < 3 时的函数图象记为 G ,求此时函数 y 的取值范围;
(3)在(2)的条件下,将图象 G 在 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折,图象 G 的其余部分保持不变,得到一个新图象 M .若经过 C 4 , 2 点的直线 y = kx + b k ≠ 0 与图象 M 在第三象限内有两个公共点,结合图象,求 b 的取值范围.
已知 Δ A B C 的两边 AB , AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x 2 - ( 2 k + 3 ) x + k 2 + 3 k + 2 = 0 的两个实数根,第三边 BC = 5 .
(1) k 为何值时, Δ A B C 是以 BC 为斜边的直角三角形?
(2) k 为何值时, Δ A B C 是等腰三角形?并求此时 Δ A B C 的周长.
如图,在 Δ A B C 中, ∠ ABC = 30 ° , AB = p , BC = q ,且 p , q 是关于 x 的方程 x 2 - mx + 3 m = 0 的两个实数根,若 | p + 2 q | = 1 3 pq + 6 ,试在 ΔABC 内找一点 P ,使点 P 到 A , B , C 三点的距离之和最小,求出最小值并说明理由.
如图①. Δ A B C , Δ A E D 都是等腰直角三角形, ∠ ABC = ∠ E = 90 ° , AE = a . A = b ,且 a < b ,点 D 在 AC 上,连接 BD , BD = c .
(1)如果 c = 5 2 a .
①求 a b 的值;②若 a , b 是关于 x 的方程 x 2 - mx + 1 25 m 2 - 2 5 m + 3 5 = 0 的两实数根,求 m 的值;
(2)如图②,将 Δ A D E 绕点 A 逆时针旋特,使 BE = 100 ,连接 DC .求五边形 ABCDE 的面积.
重庆小面是重庆美食的名片之一,深受外地游客和本地民众欢迎.某面馆向食客推出经典特色重庆小面,顾客可到店食用(简称“堂食”小面),也可购买搭配佐料的袋装生面(简称“生食”小面).已知 3 份“堂食”小面和 2 份“生食”小面的总售价为 31 元, 4 份“堂食”小面和 1 份“生食”小面的总售价为 33 元.
(1)求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元?
(2)该面馆在4月共卖出“堂食”小面 4500 份,“生食”小面 2500 份.为回馈广大食客,该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变,每份“生食”小面的价格降低 3 4 a % .统计5月的销量和销售额发现:“堂食”小面的销量与4月相同,“生食”小面的销量在4月的基础上增加了 5 2 a % ,这两种小面的总销售额在4月的基础上增加了 5 11 a % .求 a 的值.