已知椭圆
的离心率为
，直线
:
与以原点为圆心、以椭圆
的短半轴长为半径的圆相切.
（I）求椭圆的方程；
（II）设椭圆的左焦点为
，右焦点
，直线
过点且垂直于椭圆的长轴，动直线
垂直于点
，线段
垂直平
分线交
于点
，求点的轨迹
的方程；
（III）设与
轴交于点
，不同的两点
在上，且满足
求
的取值范围
（本小题满分12分）已知抛物线
的顶点为坐标原点，焦点为
．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若点
为抛物线的准线上的任意一点，过点作抛物线的切线
与
，切点分别为
，求证：直线
恒过某一定点；
（Ⅲ）分析（Ⅱ）的条件和结论，反思其解题过程，再对命题（Ⅱ）进行变式和推广．请写出一个你发现的真命题，不要求证明（说明：本小题将根据所给出的命题的正确性和一般性酌情给分）．
（本小题满分12分）一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用
（
且
）个单位的药剂，药剂在血液中的含量
（克）随着时间
（小时）变化的函数关系式近似为
，其中
（Ⅰ）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？
（Ⅱ）若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用
个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求的最小值．
（本小题满分12分）已知函数
在同一半周期内的图象过点
，其中
为坐标原点，
为函数
图象的最高点，
为函数的图象与
轴的正半轴的交点．
（Ⅰ）试判断
的形状，并说明理由．
（Ⅱ）若将绕原点按逆时针方向旋转角
时，顶点
恰好同时落在曲线
上（如图所示），求实数
的值．
（本小题满分12分）“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.
（Ⅰ）若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？
（Ⅱ）假定（Ⅰ）中被邀请到的3个人中恰有两人接受挑战.根据活动规定，现记
为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求的分布列和均值（数学期望）.
的公比
，
，
是方程
的两根．
的前
项和
．
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