如图，抛物线交
轴于
，
两点，交
轴于点
．直线
经过点
，
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线上一动点，过点
作
轴的垂线，交直线
于点
，设点
的横坐标为
．
①当是直角三角形时，求点
的坐标；
②作点关于点
的对称点
，则平面内存在直线
，使点
，
，
到该直线的距离都相等．当点
在
轴右侧的抛物线上，且与点
不重合时，请直接写出直线
的解析式．
，
可用含
的式子表示）
在中，
，
．点
是平面内不与点
，
重合的任意一点．连接
，将线段
绕点
逆时针旋转
得到线段
，连接
，
，
．
（1）观察猜想
如图1，当时，
的值是 ，直线
与直线
相交所成的较小角的度数是 ．
（2）类比探究
如图2，当时，请写出
的值及直线
与直线
相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当时，若点
，
分别是
，
的中点，点
在直线
上，请直接写出点
，
，
在同一直线上时
的值．
模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具．对于
的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为，
，由矩形的面积为4，得
，即
；由周长为
，得
，即
．满足要求的
应是两个函数图象在第 一 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数的图象如图所示，而函数
的图象可由直线
平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线
．
（3）平移直线，观察函数图象
①当直线平移到与函数的图象有唯一交点
时，周长
的值为 ；
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围．
（4）得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长的取值范围为 ．
学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个奖品和2个
奖品共需120元；购买5个
奖品和4个
奖品共需210元．
（1）求，
两种奖品的单价；
（2）学校准备购买，
两种奖品共30个，且
奖品的数量不少于
奖品数量的
．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
粤公网安备 44130202000953号