（本小题12分）已知A,B,C为锐角的三个内角，向量,，且．

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题12分）
已知A,B,C为锐角的三个内角，向量,
，且．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）求取最大值时角的大小．

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设函数 $f (x) = 2 |x - 1| + x - 1, g (x) = 16 x^{2} - 8 x + 1$ ，记 $f (x) \leq 1$ 的解集为 $M$ ， $g (x) \leq 4$ 的解集为 $N$ .
（1）求 $M$ ；
（2）当 $x \in M \cap N$ 时，证明： $x^{2} f (x) + x {[f (x)]}^{2} \leq \frac{1}{4}$ .

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（1）写出 $C$ 的参数方程；
（2）设直线 $l : 2 x + y - 2 = 0$ 与 $C$ 的交点为 $P_{1}, P_{2}$ ，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段 $P_{1} P_{2}$ 的中点且与 $l$ 垂直的直线的极坐标方程.

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如图, $E P$ 交圆于 $E$ 、 $C$ 两点, $P D$ 切圆于 $D, G$ 为 $C E$ 上一点且 $P G = P D$ ,连接 $D G$ 并延长交圆于点 $A$ ,作弦 $A B$ 垂直 $E P$ ,垂足为 $F$ .

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（1）存在唯一 $x_{0} \in (0, \frac{π}{2})$ ,使 $f (x_{0}) = 0$ ；
（2）存在唯一 $x_{1} \in (\frac{π}{2}, π)$ ,使 $g (x_{1}) = 0$ ,且对(1)中的 $x_{0} + x_{1} > π$ .

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（1）求点 $P$ 的坐标；
（2）焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $C$ 过点 $P$ ，且与直线 $l : y = x + \sqrt{3}$ 交于A，B两点，若 $∆ P A B$ 的面积为2，求C的标准方程.

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