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解不等式组

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如图，已知 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，把 $ΔABC$ 绕 $A$ 点沿顺时针方向旋转得到 $ΔADE$ ，连接 $BD$ ， $CE$ 交于点 $F$ ．

（1）求证： $ΔAEC ≅ ΔADB$ ；

（2）若 $AB = 2$ ， $∠ BAC = 45 °$ ，当四边形 $ADFC$ 是菱形时，求 $BF$ 的长．

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为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，某校举办了首届“汉字听写大赛”，学生经选拔后进入决赛，测试同时听写100个汉字，每正确听写出一个汉字得1分，本次决赛，学生成绩为 $x$ （分 $)$ ，且 $50 ⩽ x < 100$ ，将其按分数段分为五组，绘制出以下不完整表格：

请根据表格提供的信息，解答以下问题：

（1）本次决赛共有　　名学生参加；

（2）直接写出表中 $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（3）请补全下面相应的频数分布直方图；

（4）若决赛成绩不低于80分为优秀，则本次大赛的优秀率为　　．

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为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．

（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；

（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．

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如图，抛物线经过 $A (- 1, 0)$ ， $B (5, 0)$ ， $C (0, - \frac{5}{2})$ 三点．

（Ⅰ）求抛物线的解析式；

（Ⅱ）在抛物线的对称轴上有一点 $P$ ，使 $PA + PC$ 的值最小，求点 $P$ 的坐标．

（Ⅲ）点 $M$ 为 $x$ 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 $N$ ，使以 $A$ ， $C$ ， $M$ ， $N$ 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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（2） $∵ \tan ∠ ACB = \frac{AB}{BC} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $BC = 2$ ，

$∴ AB = BC \cdot \tan ∠ ACB = \sqrt{2}$ ，

$∴ AC = \sqrt{6}$ ；

又 $∵ ∠ ACB = ∠ DCE$ ，

$∴ \tan ∠ DCE = \tan ∠ ACB = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，

$∴ DE = DC \cdot \tan ∠ DCE = 1$ ；

方法一：在 $Rt Δ CDE$ 中， $CE = \sqrt{C D^{2} + D E^{2}} = \sqrt{3}$ ，

连接 $OE$ ，设 $⊙ O$ 的半径为 $r$ ，则在 $Rt Δ COE$ 中， $C O^{2} = O E^{2} + C E^{2}$ ，即 ${(\sqrt{6} - r)}^{2} = r^{2} + 3$

解得： $r = \frac{\sqrt{6}}{4}$

方法二： $AE = AD - DE = 1$ ，过点 $O$ 作 $OM ⊥ AE$ 于点 $M$ ，则 $AM = \frac{1}{2} AE = \frac{1}{2}$

在 $Rt Δ AMO$ 中， $OA = \frac{AM}{\cos ∠ EAO} = \frac{1}{2} \div \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．

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