(本小题满分8分,每题4分) (1)解方程组:; (2)化简:.
【定义】如图1, A , B 为直线 l 同侧的两点,过点 A 作直线 l 的对称点 A ' ,连接 A ' B 交直线 l 于点 P ,连接 AP ,则称点 P 为点 A , B 关于直线 l 的“等角点”.
【运用】如图2,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A ( 2 , 3 ) , B ( − 2 , − 3 ) 两点.
(1) C ( 4 , 3 2 ) , D ( 4 , 2 2 ) , E ( 4 , 1 2 ) 三点中,点 C 是点 A , B 关于直线 x = 4 的等角点;
(2)若直线 l 垂直于 x 轴,点 P ( m , n ) 是点 A , B 关于直线 l 的等角点,其中 m > 2 , ∠ APB = α ,求证: tan α 2 = n 2 ;
(3)若点 P 是点 A , B 关于直线 y = ax + b ( a ≠ 0 ) 的等角点,且点 P 位于直线 AB 的右下方,当 ∠ APB = 60 ° 时,求 b 的取值范围(直接写出结果).
如图,正方形 ABCD 中, AB = 2 5 , O 是 BC 边的中点,点 E 是正方形内一动点, OE = 2 ,连接 DE ,将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90 ° 得 DF ,连接 AE , CF .
(1)求证: AE = CF ;
(2)若 A , E , O 三点共线,连接 OF ,求线段 OF 的长.
(3)求线段 OF 长的最小值.
在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y = x 2 − 2 ( k − 1 ) x + k 2 − 5 2 k ( k 为常数).
(1)若抛物线经过点 ( 1 , k 2 ) ,求 k 的值;
(2)若抛物线经过点 ( 2 k , y 1 ) 和点 ( 2 , y 2 ) ,且 y 1 > y 2 ,求 k 的取值范围;
(3)若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线,当 1 ⩽ x ⩽ 2 时,新抛物线对应的函数有最小值 − 3 2 ,求 k 的值.
小明购买 A , B 两种商品,每次购买同一种商品的单价相同,具体信息如下表:
次数
购买数量(件 )
购买总费用(元 )
A
B
第一次
2
1
55
第二次
3
65
根据以上信息解答下列问题:
(1)求 A , B 两种商品的单价;
(2)若第三次购买这两种商品共12件,且 A 种商品的数量不少于 B 种商品数量的2倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.
如图, AB 为 ⊙ O 的直径, C 为 ⊙ O 上一点, AD 和过点 C 的切线互相垂直,垂足为 D ,且交 ⊙ O 于点 E .连接 OC , BE ,相交于点 F .
(1)求证: EF = BF ;
(2)若 DC = 4 , DE = 2 ,求直径 AB 的长.