(本小题满分12分)如图,有一块半径为1的半圆形钢板,计划剪成矩形的形状,它的一边在圆的直径上,另一边的端点在圆周上.求矩形面积的最大值和周长的最大值.
(本小题满分12分) 椭圆与直线相交于、两点,且(为坐标原点).(Ⅰ)求证:等于定值; (Ⅱ)当椭圆的离心率时,求椭圆长轴长的取值范围.
(本小题满分12分) 如图,在三棱柱中,所有的棱长都为2,. (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)当三棱柱的体积最大时,求平面与平面所成的锐角的余弦值.
(本小题满分12分) 某甲有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球共6个球的箱子;某乙也有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球共6个球的箱子. (Ⅰ)若甲在自己的箱子里任意取球,取后不放回,每次只取一个球,直到取到红球为止,求甲取球次数的数学期望; (Ⅱ)若甲、乙两人各从自己的箱子里任取一球比颜色,规定同色时为甲胜,异色时为乙胜,这个游戏规则公平吗?请说明理由.
在中,分别为角的对边,且满足. (Ⅰ)求角的值; (Ⅱ)若,设角的大小为的周长为,求的最大值.
设函数,,其中,将的最小值记为. (1)求的表达式; (2)讨论在区间内的单调性并求极值.