(本题满分12分)设为实数,函数.(1)若,求的取值范围;(2)求的最小值;(3)设函数,直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.
如图,三棱柱中,侧面为菱形,. (Ⅰ)证明:; (Ⅱ)若,,,求二面角的余弦值.
从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下图频率分布直方图: (I)求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差(同一组的数据用该组区间的中点值作代表); (II)由直方图可以认为,这种产品的质量指标服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差. (i)利用该正态分布,求; (ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用(i)的结果,求. 附:
若则,。
已知数列的前项和为,,,,其中为常数, (I)证明:; (II)是否存在,使得为等差数列?并说明理由.
已知函数,其中,为自然对数的底数. (Ⅰ)设是函数的导函数,求函数在区间上的最小值; (Ⅱ)若,函数在区间内有零点,求的取值范围
已知椭圆的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形. (1)求椭圆的标准方程; (2)设为椭圆的左焦点,为直线上任意一点,过作的垂线交椭圆于点. (i)证明:平分线段(其中为坐标原点); (ii)当最小时,求点的坐标.