已知函数.
（1）试判断函数F（x）=(x²+1) f (x) – g(x)在[1，+∞)上的单调性；
（2）当0＜a＜b时，求证：函数f (x) 定义在区间[a,b]上的值域的长度大于（闭区间[m，n]的长度定义为n –m）．
（3）方程f(x)=是否存在实数根？说明理由。