（本小题满分12分）已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分12分）
已知F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，以双曲线的半焦距c为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为A，与y轴正半轴的交点为B，点A在y轴上的射影为H，且
（I）求双曲线的离心率；
（II）若AF₁交双曲线于点M，且的值.

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设 $a \geq 0, f (x) = x - 1 - \ln^{2} x + 2 a \ln x (x > 0)$ .

（Ⅰ）令 $F (x) = x f^{`} (x)$ ,讨论 $F (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证:当 $x > 1$ 时,恒有 $x > \ln^{2} x - 2 a \ln x + 1$ .

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如图，在六面体 $A B C D － A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形，四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是边长为1的正方形， $D D_{1} ⊥ 平面 A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $D D_{1} ⊥ 平面 A B C D$ ， $D D_{1} ＝ 2$ .

（Ⅰ）求证： $A_{1} C_{1} 与 A C$ 共面， $B_{1} D_{1} 与 B D$ 共面；
（Ⅱ）求证： $平面 A_{1} A C C_{1} ⊥ 平面 B_{1} B D D_{1}$ ；
（Ⅲ）求二面角 $A － B B_{1} － C$ 的大小（用反三角函数值表示）.

题型：未知
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已知0＜a＜的最小正周期， $向量 a = （ \tan （ α + β / 4 ）， - 1), 向量 b = （ \cos α ， 2 ），且向量 a \times 向量 b = m ，$ 求 $\frac{2 \cos^{2} α + \sin 2 (α + β)}{\cos α - \sin α}$ .

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已知函数 $f (x) = x^{2 t} - 2 t (x^{2} + x) + x^{2} + 2 t^{2} + 1$ ， $g (x) = \frac{1}{2} f (x)$ ．
（I）证明：当 $t < 2 \sqrt{2}$ 时， $g (x)$ 在 $R$ 上是增函数；
（II）对于给定的闭区间 $[a, b]$ ，试说明存在实数 $k$ ，当 $t > k$ 时， $g (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上是减函数；
（III）证明： $f (x) \geq \frac{3}{2}$ ．

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已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 与函数 $f (x)$ ， $g (x)$ ， $x \in R$ 满足条件： $a_{n} = b_{n}$ ， $f (b_{n}) = g (b_{n + 1})$ .( $n \in N^{*}$ )

（I）若 $f (x) \geq t x + 1, t \neq 0, t \neq 2,$ $g (x) = 2 x$ ， $f (b) \neq g (b)$ ， $\underset{n \to \infty}{l i m} a_{n}$ 存在，求 $x$ 的取值范围；
（II）若函数 $y = f (x)$ 为 $R$ 上的增函数， $g (x) = f^{- 1} (x)$ ， $b = 1$ ， $f (1) < 1$ ，证明对任意 $n \in N^{*}$ ， $\underset{n \to \infty}{l i m} a_{n}$ （用 $t$ 表示）．

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