一圆经过点F(0,3)且和直线y+3=0相切,求圆心的轨迹方程。
如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P - A B C D 中, A D / / B C , ∠ A B C = 90 ° , P A ⊥ 平面 , P A = 4 , A D = 2 , A B = 2 3 , B C = 6 .
(Ⅰ)求证: B D ⊥ 平面 P A C ;
(Ⅱ)求二面角 P - B D - D 的大小.
某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考试,否则即被淘汰,已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 4 5 、 3 5 、 2 5 ,且各轮问题能否正确回答互不影响. (Ⅰ)求该选手被淘汰的概率; (Ⅱ)该选手在选拔中回答问题的个数记为 ζ ,求随机变量 ζ 的分布列与数数期望.(注:本小题结果可用分数表示)
设函数 f ( x ) = a - b ,其中向量 a = ( m , cos 2 x ) , b = ( 1 + sin 2 x , 1 ) , x ∈ R 且函数 y = f ( x ) 的图象经过点, π 4 , 2
(Ⅰ)求实数m的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小值及此时x的值的集合.
设函数 f ( x ) = x 2 + b ln ( x + 1 ) ,其中 b ≠ 0 . (I)当 b > 1 2 时,判断函数 f ( x ) 在定义域上的单调性; (II)求函数 f ( x ) 的极值点; (III)证明对任意的正整数 n ,不等式 ln ( 1 n + 1 ) > 1 n 2 - 1 n 3 都成立.
已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1. (I)求椭圆 C 的标准方程; (II)若直线 l : y = k x + m 与椭圆C相交于 A , B 两点( A , B 不是左右顶点),且以 A B 为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.