已知函数(Ⅰ)求函数的单调区间和极值;(Ⅱ)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,证明当时,(Ⅲ)如果,且,证明
如图,O为坐标原点,点F为抛物线C1:的焦点,且抛物线C1上点P处的切线与圆C2:相切于点Q.(Ⅰ)当直线PQ的方程为时,求 抛物线C1的方程;(Ⅱ)当正数变化时,记S1 ,S2分别为△FPQ,△FOQ的面积,求的最小值.
已知是实数,1和是函数的两个极值点.(Ⅰ)求和的值;(Ⅱ)设函数的导函数,求的极值点;(Ⅲ)设,其中,求函数的零点个数.
已知是数列的前项和,且满足(其中为常数,,),已和,且当时,.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)若对于,,不等式恒成立,求的取值范围.
如图,是底面半径为1的圆柱的内接正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面),过FB作圆柱的截面交下底面于,已知. (Ⅰ)证明:四边形是平行四边形; (Ⅱ)证明:; (Ⅲ)求三棱锥的体积.
某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组:,,,,分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图. (Ⅰ)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率.(Ⅱ)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成的列联表,并判断是否有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?附表:
,(其中)