已知 $P$为半圆 $C$: $\{\begin{array}{c}x=\cos \theta \\ y=\sin \theta \end{array}$( $\theta$为参数， $0\le \theta \le \pi$）上的点，点 $A$的坐标为（1,0）， $O$为坐标原点，点 $M$在射线 $OP$上，线段 $OM$与 $C$的弧 $\stackrel{⏜}{AP}$的长度均为 $\frac{\pi }{3}$。
（I）以 $O$为极点， $x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 $M$的极坐标；
（II）求直线 $AM$的参数方程。