(本小题满分12分)如图，在直三棱柱中，AB1，AC2，，D

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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(本小题满分12分)

如图，在直三棱柱中，AB=1，AC=2，，D，E分别是和的中点．
(Ⅰ)证明：DE∥平面ABC；
(Ⅱ)求直线DE与平面所成的角．

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[选修4-1：几何证明选讲]如图，⊙O中 $\hat{AB}$ 的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．

（1）若 $∠ PFB = 2 ∠ PCD$ ，求 $∠ PCD$ 的大小；

（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明： $OG ⊥ CD$ ．

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设函数 $f （ x ） = lnx ﹣ x + 1$ ．

（1）讨论 $f （ x ）$ 的单调性；

（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜ $\frac{x - 1}{\ln x}$ ＜x；

（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c^x ．

题型：未知
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已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 x$ 的焦点为F，平行于x轴的两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．

（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明 $AR ∥ FQ$ ；

（2）若 $△ PQF$ 的面积是 $△ ABF$ 的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．

题型：未知
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如图，四棱锥 $P ﹣ ABCD$ 中， $P A ⊥ 底面 ABCD$ ， $AD ∥ BC$ ， $AB = AD = AC = 3$ ， $PA = BC = 4$ ，M为线段AD上一点， $AM = 2 MD$ ，N为PC的中点．

（1）证明 $MN ∥ 平面 P A B$ ；

（2）求四面体 $N ﹣ BCM$ 的体积．

题型：未知
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如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．

（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；

（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：

参考数据： $\sum_{i = 1}^{7} y i = 9.32$ ， $\sum_{i = 1}^{7} t i y i = 40.17$ ， $\sqrt{\sum_{i = 1}^{7} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ $= 0.55$ ， $\sqrt{7} \approx 2.646$ ．

参考公式： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{7} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{7} {(t_{i} - \bar{t})}^{2} \sum_{i = 1}^{7} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，回归方程 $\overset{\land}{y} = \overset{\land}{a} + \overset{\land}{b} t$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

$\overset{\land}{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$ ， $\overset{\land}{a} = \bar{y} - \overset{\land}{b} \bar{t}$ ．

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