（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题8分，第（3）小题4分）
已知椭圆的左右焦点分别为，短轴两个端点为，且四边形是边长为2的正方形。
（1）求椭圆方程；
（2）若分别是椭圆长轴的左右端点，动点满足，连接，交椭圆于点。证明：为定值；
（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。