若函数 $y=f\left(x\right)$的定义域是 $\left[0,2\right]$，则函数 $g\left(x\right)=\frac{f\left(2x\right)}{x-1}$的定义域是（）

A．

$\left[0,1\right]$

B．

$[0,1)$

C．

$[0,1)\cup (1,4]$

D．

$\left(0,1\right)$