求满足1+3+5+…+n>500的最小自然数n.
已知函数,,其中m∈R.(1)若0<m≤2,试判断函数f (x)=f1 (x)+f2 (x)的单调性,并证明你的结论;(2)设函数 若对任意大于等于2的实数x1,总存在唯一的小于2的实数x2,使得g (x1) =" g" (x2) 成立,试确定实数m的取值范围.
已知数列,满足,,,数列的前项和为,.(1)求数列的通项公式;(2)求证:;(3)求证:当时,.
一个如图所示的不规则形铁片,其缺口边界是口宽4分米,深2分米(顶点至两端点所在直线的距离)的抛物线形的一部分,现要将其缺口边界裁剪为等腰梯形.(1)若保持其缺口宽度不变,求裁剪后梯形缺口面积的最小值;(2)若保持其缺口深度不变,求裁剪后梯形缺口面积的最小值.
在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆E:的左、右顶点分别为、,上、下顶点分别为、.设直线的倾斜角的正弦值为,圆与以线段为直径的圆关于直线对称.(1)求椭圆E的离心率;(2)判断直线与圆的位置关系,并说明理由;(3)若圆的面积为,求圆的方程.
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,AC=6,BD=8,E是PB上任意一点,△AEC面积的最小值是3.(1)求证:AC⊥DE;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.