设 m 个不全相等的正数 a 1 , a 2 , . . . , a m ( m ≥ 7 ) 依次围成一个圆圈。 (Ⅰ)若 m = 2009 ,且 a 1 , a 2 , . . . , a 1005 是公差为 d 的等差数列,而 a 1 , a 2009 , a 2004 , . . . , a 1005 是公比为 q = d 的等比数列;数列 a 1 , a 2 , . . . , a m 的前 n 项和 S n ( n ≤ m ) 满足: S 3 = 15 , S 2009 = S 2007 + 12 a 1 ,求通项 a n ( n ≤ m ) ; (Ⅱ)若每个数 a n ( n ≤ m ) 是其左右相邻两数平方的等比中项,求证: a 1 + . . . + a 5 + a 7 2 + . . . + a m 2 > m a 1 a 2 a m 。
某省高中男生身高统计调查数据显示:全省100000名男生的身高服从正态分布现从该省某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间,将测量结果按如下方式分成6组:第一组[157.5,162.5]第二组[162.5,167.5],...第6组[182.5,187.5],下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (1)求该学校高三年级男生的平均身高; (2)求这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5cm)的人数; (3)在这50名男生身高在177.5cm以上含(177.5cm)的人中任意抽取2人,该2人中身高排名(从高 到低)在全省前130名的人数记为,求的数学期望. 参考数据:若~.则,,.
已知数列的前项和与通项满足. (1)求数列的通项公式; (2)数列满足,求证:.
设,是否存在关于自然数n的函数,使等式对于的一切自然数都成立?并证明你的结论.
数列满足,前n项和. (1)写出; (2)猜出的表达式,并用数学归纳法证明.
设为一个三角形的三边,,且,试证:.