已知:一个圆锥的底面半径为R,高为H,在其中有一个高为x的内接圆柱.(1)求圆柱的侧面积;(2)x为何值时,圆柱的侧面积最大.
(本小题满分14分)已知三棱锥中,,.如图,从由任何二个顶点确定的向量中任取两个向量,记变量为所取两个向量的数量积的绝对值.(1)当时,求的值.(2)当时,求变量的分布列与期望.
(本小题满分13分)如图,四棱锥的底面是正方形,平面,,,点是上的点,且.(1)求证:对任意的,都有.(2)设二面角的大小为,直线与平面所成的角为,若,求的值.
(本小题满分12分)某青年教师专项课题进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的课题研究,对于高二年级 800名学生上学期期末数学和物理成绩,按优秀和不优秀分类得结果:数学和物理都优秀的有60人,数学成绩优秀但物理不优秀的有140人,物理成绩优秀但数学不优秀的有100人. (1)能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关系? (2)将上述调查所得到的频率视为概率,从全体高二年级学生成绩中,有放回地随机抽取3名学生的成绩,记抽取的3个成绩中数学、物理两科成绩至少有一科优秀的次数为,求的期望. 附:
(本小题满分12分)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段,…后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:(1)求第四小组的频率,补全这个频率分布直方图;并估计该校学生的数学成绩的中位数.(2)从数学成绩是70分以上(包括70分)的学生中选两人,求他们在同一分数段的概率.(3)若从全市参加高一年级期末考试的学生中,任意抽取4个学生,设这四个学生中数学成绩为80分以上(包括80分)的人数为X,(以该校学生的成绩的频率估计概率),求X的数学期望.
(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)与月储蓄yi(单位:千元)的数据资料,算得.(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a;(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关;(3)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.附:线性回归方程y=bx+a中,,a=-b ,其中,为样本平均值.