已知 $\left\{a_n\right\}$是公差为 $p$的等差数列， $\left\{b_n\right\}$是公比为 $q$的等比数列。
（1）若 $a_n=3n+1$，是否存在 $m,n\in N^{*}$，有 $a_m+a_{m+1}=a_k$？请说明理由；
（2）若 $b_n=a{q}^n$（ $a,q$为常数，且 $aq\ne 0$）对任意 $m$存在 $k$，有 $b_m·b_{m+1}=b_k$，试求 $a,q$满足的充要条件；
（3）若 $a_n=2n+1,b_n=3^n$试确定所有的 $p$，使数列 $\left\{b_n\right\}$中存在某个连续 $p$项的和式数列中 $\left\{a_n\right\}$的一项，请证明。