某厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进先进设备，并

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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某厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进先进设备，并马上投入生产，第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元。请你根据以上数据，解决下列问题：(1)引进该设备多少年后，开始盈利？(2)引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，哪种方案较为合算？请说明理由.

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已知函数 $f (x) = 4 \cos ω x \cdot \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ .
（Ⅰ）求 $ω$ 的值；
（Ⅱ）讨论 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的单调性.

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已知 $\{a_{n}\}$ 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 $n$ 项的最大值记为 $A_{n}$ ，第n项之后各项 $a_{n + 1}$ ， $a_{n + 2}$ …的最小值记为 $B_{n}$ ， $d_{n} = A_{n} - B_{n}$ .
(1)若 $\{a_{n}\}$ 为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意 $n \in N^{*}$ ， $a_{n + 4} = a_{n}$ )，写出 $d_{1}$ ， $d_{2}$ ， $d_{3}$ ， $d_{4}$ 的值；
(2)设d为非负整数，证明： $d_{n} = - d$ ( $n = 1, 2, 3 \dots$ )的充分必要条件为{a_n}为公差为d的等差数列；
(3)证明：若 $a_{1} = 2$ ， $d_{n} = 1 (n = 1, 2, 3 \dots)$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的项只能是1或2，且有无穷多项为1.

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已知 $A, B, C$ 是椭圆 $W : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上的三个点， $O$ 是坐标原点.
(I)当点 $B$ 是 $W$ 的右顶点，且四边形 $O A B C$ 为菱形时，求此菱形的面积.
(II)当点 $B$ 不是 $W$ 的顶点时，判断四边形 $O A B C$ 是否可能为菱形，并说明理由.

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设 $l$ 为曲线 $C : y = \frac{\ln x}{x}$ 在点(1,0)处的切线.
(I)求 $l$ 的方程;
(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线 $C$ 在直线 $l$ 的下方.

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如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} C_{1} C$ 是边长为4的正方形.平面 $A B C ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ， $A B = 3, B C = 5$ .

（Ⅰ）求证： $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ；
（Ⅱ）求二面角 $A_{1} - B C_{1} - B_{1}$ 的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段 $B C_{1}$ 存在点 $D$ ，使得 $A D ⊥ A_{1} B$ ，并求 $\frac{B D}{B C_{1}}$ 的值.

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